U-统计量
U-统计量是统计学中一类特定的、具有对称性的统计量，它在估计理论中扮演重要角色。名称中的“ U”为无偏（unbiased）之意。在初等统计学中，U-统计量与最小方差无偏估计量 (UMVUE) 有密切联系。
U-统计量的一个重要性是，对概率分布来说，其可估计参数的最小方差无偏估计量 是一个U-统计量。 [1][2] 因此通过研究U-统计量的一般性质，可以系统地了解这些估计量的统计学性质。[3]
U-统计量在非参数统计中尤其重要，不少用于估计和统计检验的统计量，在形式上都是U-统计量。U-统计量通常具有良好的渐近正态性，这方便了基于它的统计推断。 近年来，U-统计量在研究复杂的随机过程和随机网络类型数据的随机性质方面，发挥了作用。[4][5][6]
目前，统计学家们对U-统计量性质的了解，几乎全都基于Hoeffding发表于1948年的经典论文[7]。在这篇论文里，Hoeffding给出了U-统计量最重要的性质——它的ANOVA分解。
定义
定义
h
(
x
1
,
…
,
x
r
)
:
R
r
→
R
{\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{r}):\mathbb {R} ^{r}\to \mathbb {R} }
为一个函数，其具有对称性，即交换任意
x
i
,
x
j
{\displaystyle x_{i},x_{j}}
的位置，
h
{\displaystyle h}
的值保持不变。对随机变量
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
，基于
h
{\displaystyle h}
的U-统计量定义如下：
称为该U-统计量的度（degree）。[8]
两样本U-统计量
定义
h
(
x
1
,
…
,
x
r
;
y
1
,
…
,
y
s
)
:
R
r
+
s
→
R
{\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{r};y_{1},\ldots ,y_{s}):\mathbb {R} ^{r+s}\to \mathbb {R} }
为一个函数，其对
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
分别具有对称性，即交换任意
x
i
1
,
x
i
2
{\displaystyle x_{i_{1}},x_{i_{2}}}
的位置或交换任意
y
j
1
,
y
j
2
{\displaystyle y_{j_{1}},y_{j_{2}}}
的位置，
h
{\displaystyle h}
的值保持不变（但不能随意交换
x
i
,
y
j
{\displaystyle x_{i},y_{j}}
）。对随机变量
X
1
,
…
,
X
m
;
Y
1
,
…
,
Y
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{m};Y_{1},\ldots ,Y_{n}}
，基于
h
{\displaystyle h}
的两样本U-统计量定义如下：
Hoeffding的ANOVA分解定理
定理表述
Hoeffding的ANOVA分解定理是现代U-统计量理论的基础。[9]为表述该定理，定义：
μ
=
E
[
h
(
X
1
,
…
,
X
r
)
]
{\displaystyle \mu =\mathbb {E} [h(X_{1},\ldots ,X_{r})]}
。
对所有
1
≤
k
≤
r
{\displaystyle 1\leq k\leq r}
，定义投影函数：
a k ( x 1 , … , x k ) = E [ h ( X 1 , … , X r ) | X 1 = x 1 , … , X k = x k ] − μ {\displaystyle a_{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})=\mathbb {E} [h(X_{1},\ldots ,X_{r})|X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{k}=x_{k}]-\mu }
然后定义正交化投影函数：
g
1
(
x
1
)
=
a
1
(
x
1
)
{\displaystyle g_{1}(x_{1})=a_{1}(x_{1})}
，
g
2
(
x
1
,
x
2
)
=
a
2
(
x
1
,
x
2
)
−
g
1
(
x
1
)
−
g
2
(
x
2
)
{\displaystyle g_{2}(x_{1},x_{2})=a_{2}(x_{1},x_{2})-g_{1}(x_{1})-g_{2}(x_{2})}
，等等，每一个
g
k
{\displaystyle g_{k}}
都定义为相应的
a
k
{\displaystyle a_{k}}
减去之前定义过的所有
g
1
,
…
,
g
k
−
1
{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k-1}}
，直至最后一个函数
g
r
{\displaystyle g_{r}}
：
都满足：
E
[
g
k
(
X
1
,
…
,
X
k
)
|
X
1
,
…
,
X
k
−
1
]
=
0
{\displaystyle \mathbb {E} [g_{k}(X_{1},\ldots ,X_{k})|X_{1},\ldots ,X_{k-1}]=0}
因此，所有的分解项之间是互不相关的[9]，并且度为
k
{\displaystyle k}
的分解项之平均的阶为
O
p
(
n
−
k
/
2
)
{\displaystyle O_{p}\left(n^{-k/2}\right)}
.
在大多数应用中，一个U-统计量的ANOVA分解中最重要的是前一项或前两项。根据分解项的性质，可以得到如下的两项ANOVA分解式：
，则:
n 1 / 2 ( U n − μ ) → d N ( 0 , r 2 ξ 1 2 ) {\displaystyle n^{1/2}\left(U_{n}-\mu \right)\ {\stackrel {d}{\to }}\ N\left(0,r^{2}\xi _{1}^{2}\right)}同时，分解定理也指出了应该如何正确地一阶逼近U-统计量的方差，和对其进行t-标准化。
由该定理出发，在不同强度的假设条件下，可以用一项或两项的Edgeworth展开来高精度地逼近U-统计量的分布。[8][10][11][12]具体例子
度为1的例子：令 h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x}
，则U-统计量
1
n
∑
i
=
1
n
h
(
X
i
)
=
X
¯
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}h(X_{i})={\bar {X}}_{n}}
是样本均值。度为2的例子：令
h
(
x
1
,
x
2
)
=
|
x
1
−
x
2
|
{\displaystyle h(x_{1},x_{2})=|x_{1}-x_{2}|}
，则U-统计量 ，则U-统计量有如下变形：
