最大似然估计
在统计学中,最大似然估计(英语:maximum likelihood estimation,简作MLE),也称极大似然估计,是用来估计一个概率模型的参数的一种方法。
目录
预备知识
下边的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义,如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。读者还须先熟悉连续实函数的基本技巧,比如使用微分来求一个函数的极值
(即极大值或极小值)。
同时,读者须先拥有似然函数的背景知识,以了解最大似然估计的出发点及应用目的。最大似然估计的原理
给定一个概率分布
D
{\displaystyle D}
,已知其概率密度函数(连续分布)或概率质量函数(离散分布)为
f
D
{\displaystyle f_{D}}
,以及一个分布参数
θ
{\displaystyle \theta }
,我们可以从这个分布中抽出一个具有
n
{\displaystyle n}
个值的采样
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
,利用
f
D
{\displaystyle f_{D}}
计算出其似然函数:

若
D
{\displaystyle D}
是离散分布,
f
θ
{\displaystyle f_{\theta }}
即是在参数为
θ
{\displaystyle \theta }
时观测到这一采样的概率;若其是连续分布,
f
θ
{\displaystyle f_{\theta }}
则为
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
联合分布的概率密度函数在观测值处的取值。一旦我们获得
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
,我们就能求得一个关于
θ
{\displaystyle \theta }
的估计。最大似然估计会寻找关于
θ
{\displaystyle \theta }
的最可能的值(即,在所有可能的
θ
{\displaystyle \theta }
取值中,寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化)。从数学上来说,我们可以在
θ
{\displaystyle \theta }
的所有可能取值中寻找一个值使得似然函数取到最大值。这个使可能性最大的
θ
^
{\displaystyle {\widehat {\theta }}}
值即称为
θ
{\displaystyle \theta }
的最大似然估计。由定义,最大似然估计是样本的函数。
注意
这里的似然函数是指 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}

例子
离散分布,离散有限参数空间
考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次(即,我们获取一个采样
x
1
=
H
,
x
2
=
T
,
…
,
x
80
=
T
{\displaystyle x_{1}={\mbox{H}},x_{2}={\mbox{T}},\ldots ,x_{80}={\mbox{T}}}
并把正面的次数记下来,正面记为H,反面记为T)。并把抛出一个正面的概率记为
p
{\displaystyle p}
,抛出一个反面的概率记为
1
−
p
{\displaystyle 1-p}
(因此,这里的
p
{\displaystyle p}
即相当于上边的
θ
{\displaystyle \theta }
)。假设我们抛出了49个正面,31个反面,即49次H,31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为
p
=
1
/
3
{\displaystyle p=1/3}
,
p
=
1
/
2
{\displaystyle p=1/2}
,
p
=
2
/
3
{\displaystyle p=2/3}
,这些硬币没有标记,所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计,基于二项分布中的概率质量函数公式,通过这些试验数据(即采样数据),我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个似然函数取以下三个值中的一个:

我们可以看到当
p
^
=
2
/
3
{\displaystyle {\widehat {p}}=2/3}
时,似然函数取得最大值。
显然地,这硬币的公平性和那种抛出后正面的概率是2/3的硬币是最接近的。这就是 p {\displaystyle p}
离散分布,连续参数空间
现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币,对于
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
中的任何一个
p
{\displaystyle p}
, 都有一个抛出正面概率为
p
{\displaystyle p}
的硬币对应,我们来求其似然函数的最大值:

其中
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
.
我们可以使用微分法来求极值。方程两边同时对
p
{\displaystyle p}
取微分,并使其为零。

其解为
p
=
0
{\displaystyle p=0}
,
p
=
1
{\displaystyle p=1}
,以及
p
=
49
/
80
{\displaystyle p=49/80}
.使可能性最大的解显然是
p
=
49
/
80
{\displaystyle p=49/80}
(因为
p
=
0
{\displaystyle p=0}
和
p
=
1
{\displaystyle p=1}
这两个解会使可能性为零)。因此我们说最大似然估计值为
p
^
=
49
/
80
{\displaystyle {\widehat {p}}=49/80}
.
这个结果很容易一般化。只需要用一个字母
t
{\displaystyle t}
代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据(即样本)的“成功”次数,用另一个字母
n
{\displaystyle n}
代表伯努利试验的次数即可。使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:

对于任何成功次数为
t
{\displaystyle t}
,试验总数为
n
{\displaystyle n}
的伯努利试验。
连续分布,连续参数空间
最常见的连续概率分布是正态分布,其概率密度函数如下:
f ( x ∣ μ , σ 2 ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}
现在有
n
{\displaystyle n}
个正态随机变量的采样点,要求的是一个这样的正态分布,这些采样点分布到这个正态分布可能性最大(也就是概率密度积最大,每个点更靠近中心点),其
n
{\displaystyle n}
个正态随机变量的采样的对应密度函数(假设其独立并服从同一分布)为:

或:
f ( x 1 , … , x n ∣ μ , σ 2 ) = ( 1 2 π σ 2 ) n / 2 exp ( − ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 + n ( x ¯ − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})=\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{n/2}\exp \left(-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
这个分布有两个参数:
μ
,
σ
2
{\displaystyle \mu ,\sigma ^{2}}
.有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同,上边的例子都只是在一个参数上对可能性进行最大化。实际上,在两个参数上的求最大值的方法也差不多:只需要分别把可能性
L
(
μ
,
σ
)
=
f
(
x
1
,
,
…
,
x
n
∣
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle {\mbox{L}}(\mu ,\sigma )=f(x_{1},,\ldots ,x_{n}\mid \mu ,\sigma ^{2})}
在两个参数上最大化即可。当然这比一个参数麻烦一些,但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号,我们有
θ
=
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle \theta =(\mu ,\sigma ^{2})}
.
最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的上凹函数。[注意:可能性函数(似然函数)的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密。]求对数通常能够一定程度上简化运算,比如在这个例子中可以看到:
0 = ∂ ∂ μ log ( ( 1 2 π σ 2 ) n 2 e − ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 + n ( x ¯ − μ ) 2 2 σ 2 ) = ∂ ∂ μ ( log ( 1 2 π σ 2 ) n 2 − ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 + n ( x ¯ − μ ) 2 2 σ 2 ) = 0 − − 2 n ( x ¯ − μ ) 2 σ 2 {\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\frac {\partial }{\partial \mu }}\log \left(\left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}e^{-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\right)\\&=&{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\log \left({\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}+n({\bar {x}}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\&=&0-{\frac {-2n({\bar {x}}-\mu )}{2\sigma ^{2}}}\\\end{matrix}}}
这个方程的解是
μ
^
=
x
¯
=
∑
i
=
1
n
x
i
/
n
{\displaystyle {\widehat {\mu }}={\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}/n}
.这的确是这个函数的最大值,因为它是
μ
{\displaystyle \mu }
里头惟一的一阶导数等于零的点并且二阶导数严格小于零。
同理,我们对
σ
{\displaystyle \sigma }
求导,并使其为零。

这个方程的解是
σ
^
2
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
^
)
2
/
n
{\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\widehat {\mu }})^{2}/n}
.
因此,其关于 θ = ( μ , σ 2 ) {\displaystyle \theta =(\mu ,\sigma ^{2})} 的最大似然估计为:
θ ^ = ( μ ^ , σ ^ 2 ) = ( x ¯ , ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 / n ) {\displaystyle {\widehat {\theta }}=({\widehat {\mu }},{\widehat {\sigma }}^{2})=({\bar {x}},\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}/n)}
性质
泛函不变性(Functional invariance)
如果
θ
^
{\displaystyle {\hat {\theta }}}
是
θ
{\displaystyle \theta }
的一个最大似然估计,那么
α
=
g
(
θ
)
{\displaystyle \alpha =g(\theta )}
的最大似然估计是
α
^
=
g
(
θ
^
)
{\displaystyle {\hat {\alpha }}=g({\hat {\theta }})}
。函数g无需是一个双射。[1]
渐近线行为
最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差,其证明可见于克拉马-罗下限(英语:Cramér–Rao bound)。当最大似然估计非偏时,等价的,在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。 对于独立的观察来说,最大似然估计函数经常趋于正态分布。
偏差
最大似然估计的偏差是非常重要的。考虑这样一个例子,标有
1
{\displaystyle 1}
到
n
{\displaystyle n}
的
n
{\displaystyle n}
张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果
n
{\displaystyle n}
是未知的话,那么
n
{\displaystyle n}
的最大似然估计值就是抽出的票上标有的
n
{\displaystyle n}
,尽管其期望值的只有
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle (n+1)/2}
.为了估计出最高的
n
{\displaystyle n}
值,我们能确定的只能是
n
{\displaystyle n}
值不小于抽出来的票上的值。
历史
最大似然估计最早是由罗纳德·费希尔在1912年至1922年间推荐、分析并大范围推广的。[2](虽然以前高斯、拉普拉斯、托瓦尔·尼古拉·蒂勒和F. Y. 埃奇沃思也使用过)。[3] 许多作者都提供了最大似然估计发展的回顾。[4]
大部分的最大似然估计理论都在贝叶斯统计中第一次得到发展,并被后来的作者简化。[2]