估计理论
估计理论是统计学和信号处理中的一个分支，主要是通过测量或经验数据来估计概率分布参数的数值。这些参数描述了实质情况或实际对象，它们能够回答估计函数提出的问题。
例如，估计投票人总体中，给特定候选人投票的人的比例。这个比例是一个不可观测的参数，因为投票人总体很大；估计值建立在投票者的一个小的随机采样上。
又如，雷达的目的是物体（飞机、船等）的定位。这种定位是通过分析收到的回声（回波）来实现的，定位提出的问题是“飞机在哪里？”为了回答这个问题，必须估计飞机到雷达之间的距离。如果雷达的绝对位置是已知的，那么飞机的绝对位置也是可以确定的。
在估计理论中，通常假定信息隐藏在包含噪声的信号中。噪声增加了不确定性，如果没有不确定性，那么也就没有必要估计了。
使用估计理论的领域
有非常多的领域使用参数估计理论。这些领域包括（当然不局限于以下列出的领域）:
信号处理 X射线断层成像 脑电图 心电图 核磁共振 医学超声波扫描术 雷达、声纳、地震学——物件的定位 噪声方差 参数化（例如周期图和相关图谱）分析 非参数化（例如MUSIC、Root-MUSIC和ESPRIT）谱分析 维纳滤波 粒子滤波器 临床试验 民意调查 质量控制 通讯 信道参数 DC增益（请看下边的例子） 控制理论 卡尔曼滤波 随时间改变的执行器（英文：Actuator） 网络入侵侦查系统测量参数包含噪声或者其他不确定性。通过统计概率，可以求得最优化的解，用来从数据中提取尽可能多的信息。
估计过程
估计理论的全部目的都是获取一个估计函数，最好是一个可以实现的估计函数。估计函数输入测量数据，输出相应参数的估计。
我们通常希望估计函数能最优，一个最优的估计意味着所有的信息都被提取出来了；如果还有信息没有提取出来，那就意味着它不是最优的。
一般来说，求估计函数需要三步：
为了实现一个预测单个或者多个参数的所期望的估计器，首先需要确定系统的模型。这个模型需要将需要建模的过程以及不确定性和和噪声融合到一起，这个模型将描述参数应用领域的物理场景。 在确定模型之后，需要确定估计器的限制条件。这些限制条件可以通过如Cramér-Rao不等式这样的方法找到。 下一步，需要开发一个估计器或者应用一个已知的对于模型有效的估计器。这个估计器需要根据限制条件进行测试以确定它是否是最优估计器，如果是的话，它就是最好的估计器。 最后，在估计器上运行试验或者仿真以测试性能。当实现一个估计器之后，实际的数据有可能证明推导出估计器的模型是不正确的，这样的话就需要重复上面的过程重新寻找估计器。不能实现的估计器需要抛弃，然后开始一个新的过程。总的来说，估计器根据实际测量的数据预测物理模型的参数。
基础
对于给定模型，估计器需要若干统计 “成分”才能实现。第一，统计样本从长度为 N 的随机向量（英语：Multivariate_random_variable）（Random Variable，RV）中采样获得，观测值构成向量：
x = [ x [ 0 ] x [ 1 ] ⋮ x [ N − 1 ] ] . {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x[0]\\x[1]\\\vdots \\x[N-1]\end{bmatrix}}.}
第二，有 M 个参数：
θ = [ θ 1 θ 2 ⋮ θ M ] , {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}={\begin{bmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\\\vdots \\\theta _{M}\end{bmatrix}},}
它们的值需要被估计。第三，用于生成连续数据的概率密度函数（Probability density function，PDF）或离散数据的概率质量函数（Probability mass function，PMF）以参数值为条件（这些概率函数潜在存在），即条件概率为：
p ( x | θ ) . {\displaystyle p(\mathbf {x} |{\boldsymbol {\theta }}).\,}
参数自身可能也存在概率分布（如贝叶斯统计），此时就需要定义贝叶斯概率：
π ( θ ) . {\displaystyle \pi ({\boldsymbol {\theta }}).\,}
模型形成后，目标是估计参数，估计的参数通常表示为
θ
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
，其中
⋅
^
{\displaystyle {\hat {\cdot }}}
表示估计值。
常用的估计器包括最小均方误差（Minimum mean squared error，MMSE）估计器，它利用了估计参数和参数实际值之间的误差：
e = θ ^ − θ {\displaystyle \mathbf {e} ={\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\boldsymbol {\theta }}}
作为优化的基础。该误差项平方的期望对MMSE估计器来说是最小的。
估计函数（估计子）
以下是一些相关的估计函数以及相关的主题
最大似然估计（Maximum likelihood estimation，简称MLE） 贝叶斯估计器（英语：Bayes_estimator）（Bayes estimator） 矩估计（Method of moments estimators，简称MME） Cramér-Rao界（英语：Cramér–Rao_bound） 最小二乘法（Least squares） 最小均方差（Minimum mean squared error，简称MMSE） 最大后验概率（Maximum a posteriori probability，简称MAP） 最小方差无偏估计（Minimum variance unbiased estimator，简称MVUE） 非线性系统识别（英语：Nonlinear_system_identification）（Nonlinear system identification） 最佳线性非偏估计（BLUE） 非偏估计，见偏差 (统计学)。 粒子滤波器（Particle filter） 马尔可夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo，简称MCMC） 卡尔曼滤波 维纳滤波例子：高斯白噪声中的直流增益
考虑由
N
{\displaystyle N}
个独立采样点构成的离散信号
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
，它由常数
A
{\displaystyle A}
和零均值、方差为
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
的加性高斯白噪声
w
[
n
]
{\displaystyle w[n]}
（即
N
(
0
,
σ
2
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}
）构成。方差已知，未知参数为
A
{\displaystyle A}
。
参数
A
{\displaystyle A}
的两个可能的估计器是：
A
^
2
=
1
N
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
{\displaystyle {\hat {A}}_{2}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]}
，即采样平均（Sample mean）通过计算两个估计器的期望可以发现，它们的均值均为
A
{\displaystyle A}
：
和
E [ A ^ 2 ] = E [ 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] ] = 1 N [ ∑ n = 0 N − 1 E [ x [ n ] ] ] = 1 N [ N A ] = A {\displaystyle \mathrm {E} \left[{\hat {A}}_{2}\right]=\mathrm {E} \left[{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\right]={\frac {1}{N}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}\mathrm {E} \left[x[n]\right]\right]={\frac {1}{N}}\left[NA\right]=A}
两个估计器的均值没有差异，然而它们的方差不同：
v a r ( A ^ 1 ) = v a r ( x [ 0 ] ) = σ 2 {\displaystyle \mathrm {var} \left({\hat {A}}_{1}\right)=\mathrm {var} \left(x[0]\right)=\sigma ^{2}}
和
v a r ( A ^ 2 ) = v a r ( 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] ) = 1 N 2 [ ∑ n = 0 N − 1 v a r ( x [ n ] ) ] = 1 N 2 [ N σ 2 ] = σ 2 N {\displaystyle \mathrm {var} \left({\hat {A}}_{2}\right)=\mathrm {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\right)={\frac {1}{N^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}\mathrm {var} (x[n])\right]={\frac {1}{N^{2}}}\left[N\sigma ^{2}\right]={\frac {\sigma ^{2}}{N}}}
当1}”> N > 1 {\displaystyle N>1} 1″ src=”/media/math_img/82695/001be86c3d8ec97f9b8194bb9ee5c282a5602d40.svg” usemap=”undefined” style=”width: 6.325ex; height: 2.176ex; vertical-align: -0.338ex;”>时，是一个更好的估计器。
最大似然估计
使用最大似然估计继续上面的例子，噪声在采样点
w
[
n
]
{\displaystyle w[n]}
上的概率密度函数（pdf）为：
此时
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
的概率为（
x
[
n
]
{\displaystyle x[n]}
服从分布
N
(
A
,
σ
2
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}(A,\sigma ^{2})}
）：
由于相互独立，
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
的概率为：
对上式取自然对数：
ln p ( x ; A ) = − N ln ( σ 2 π ) − 1 2 σ 2 ∑ n = 0 N − 1 ( x [ n ] − A ) 2 {\displaystyle \ln p(\mathbf {x} ;A)=-N\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)^{2}}
于是最大似然估计器为：
A ^ = arg max ln p ( x ; A ) {\displaystyle {\hat {A}}=\arg \max \ln p(\mathbf {x} ;A)}
计算对数-最大似然函数的一阶导数：
∂ ∂ A ln p ( x ; A ) = 1 σ 2 [ ∑ n = 0 N − 1 ( x [ n ] − A ) ] = 1 σ 2 [ ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] − N A ] {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial A}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)\right]={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]}
令其为0：
0 = 1 σ 2 [ ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] − N A ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] − N A {\displaystyle 0={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA}
得到最大似然估计器：
A ^ = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] {\displaystyle {\hat {A}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]}
它是一个简单的采样平均。从这个例子中可以发现，被独立同分布的加性高斯白噪声污染的、由未知常数构成的
N
{\displaystyle N}
点信号的最大似然估计其就是采样平均。
Cramér-Rao下限
为了找到采样平均估计器的Cramér-Rao下限（CRLB），需要找到Fisher information数
I ( A ) = E ( [ ∂ ∂ θ ln p ( x ; A ) ] 2 ) = − E [ ∂ 2 ∂ θ 2 ln p ( x ; A ) ] {\displaystyle {\mathcal {I}}(A)=\mathrm {E} \left(\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]^{2}\right)=-\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]}
从上面得到
∂ ∂ A ln p ( x ; A ) = 1 σ 2 [ ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] − N A ] {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial A}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]}
取二阶导数
∂ 2 ∂ A 2 ln p ( x ; A ) = 1 σ 2 ( − N ) = − N σ 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial A^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}(-N)={\frac {-N}{\sigma ^{2}}}}
发现负的期望值是无关紧要的（trivial），因为它现在是一个确定的常数
−
E
[
∂
2
∂
A
2
ln
p
(
x
;
A
)
]
=
N
σ
2
{\displaystyle -\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial A^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]={\frac {N}{\sigma ^{2}}}}
最后，将Fisher information代入
v a r ( A ^ ) ≥ 1 I {\displaystyle \mathrm {var} \left({\hat {A}}\right)\geq {\frac {1}{\mathcal {I}}}}得到
v a r ( A ^ ) ≥ σ 2 N {\displaystyle \mathrm {var} \left({\hat {A}}\right)\geq {\frac {\sigma ^{2}}{N}}}
将这个值与前面确定的采样平均的变化比较显示对于所有的
N
{\displaystyle N}
和
A
{\displaystyle A}
来说采样平均都是等于Cramér-Rao下限。
采样平均除了是最大似然估计器之外还是最小变化无偏估计器（MVUE）。
这个直流增益 + WGN的例子是Kay的统计信号处理基础中一个例子的再现。
